Câu Hỏi Về Ma Trận – hyunnumnguyen – WordPress.com

Đặt một câu hỏi

Có một bài toán: Cho V là một không gian vectơ hữu hạn, là một toán tử tuyến tính trên V. Ta đã biết rằng ma trận của T phụ thuộc vào cơ sở được chọn trong V. Chúng ta muốn có một cơ sở sao cho ma trận T có dạng đơn giản, chẳng hạn dạng đường chéo. Có cơ sở trực giao trong V sao cho ma trận T đối với cơ sở đó là đường chéo không?

Câu 2: Giả thiết tương tự. Có cơ sở trực giao trong v sao cho ma trận của t chéo với cơ sở đó không?

giải pháp

Giả sử A là một ma trận của T trong một cơ sở xác định nào đó trong V. Chúng tôi xem xét chuyển đổi cơ sở.Theo định lý ma trận của ánh xạ tuyến tính biến đổi cơ sở, ma trận mới của T là trong đó P là ma trận thay đổi cơ sở.

Vì vậy, câu hỏi đầu tiên tương đương với: có phép biến đổi cơ sở nào giao ma trận mới của t với cơ sở mới không?

Nếu V là một không gian với các tích vô hướng và cơ sở là trực giao, thì theo định lý “P là trực giao nếu nó là ma trận chuyển tiếp cơ sở từ một cơ sở trực chuẩn này sang một cơ sở trực giao mới, cụ thể là trong đó P^t là ma trận chuyển vị và tôi là ma trận đơn vị, vì vậy ”, P là trực tâm.

sự định nghĩa

Cho ma trận vuông A.Nếu tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho là một ma trận chéo hóa, thì ma trận A được gọi là chéo hóa được hoặc P chéo hóa được đối với A. Do đó, A được gọi là chéo hóa được nếu nó giống một ma trận chéo.

Giải pháp duyệt ma trận

Giả sử a là ma trận vuông cấp n (n nguyên dương). Điều kiện cần và đủ để chéo hóa là nó có các vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Chứng minh: Cho a chéo hóa được, nghĩa là tồn tại p khả nghịch

,

để có thể Và

.

Ta coi ap = pd.

gọi là vectơ cột của P, ta thấy các cột liên tiếp của AP là .đồng thời

Vì vậy, phương trình ap = pd cho thấy

Vì P khả nghịch nên vectơ Vì thế là các giá trị riêng của A và là vectơ riêng tương ứng.

Cũng vì P khả nghịch nên định thức của nó khác 0, và vectơ độc lập tuyến tính.

Do đó, khi a chéo hóa được, nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Quá trình đường chéo hóa ma trận

B1: Tìm n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A:

b2: Tạo ma trận p với mảng vectơ trên là các cột

B3: Ma trận sẽ là một ma trận đường chéo là các phần tử đường chéo liên tiếp, trong đó là giá trị riêng tôi = 1,2,…,n.

Đường chéo hóa một ma trận với n giá trị riêng biệt

lý thuyết

Nếu ma trận vuông cấp n có n giá trị riêng khác nhau tương ứng thì a chéo hóa được.